复利是根据初始本金和以前存款或贷款期间的累计利息计算的利息。复利的影响取决于频率。

假设年利率为 12%。如果我们以 100 美元开始这一年，并且只复利一次，到年底，本金将增长到 112 美元（100 美元 x 1.12 = 112 美元）。仅适用于本金的利息称为单利。如果我们改为每月以 1% 的复合利率计算，那么到年底我们的收入将超过 112 美元。也就是说，100 美元 x 1.01^12 等于 112.68 美元。 （它更高，因为我们更频繁地复利。）

连续复利回报是所有回报中最频繁的。连续复利是复利所能达到的数学极限。这是复利的极端情况，因为大多数利息按月、季度或半年复利。

半年回报率

首先，让我们看一下一个可能令人困惑的约定。在债券市场中，我们指的是债券等价收益率（或债券等价基差）。这意味着，如果债券的半年收益率为 6%，则其债券等价收益率为 12%。

半年收益率简直翻倍。这可能会造成混淆，因为 12% 债券等值收益率债券的有效收益率为12.36%（即 1.06^2 = 1.1236）。将半年收益率翻一番只是一种债券命名惯例。因此，如果我们读到 8% 的半年复利债券，我们假设这是指 4% 的半年收益率。

季度、月度和日回报率

现在，让我们讨论更高的频率。我们仍然假设年市场利率为 12%。根据债券命名惯例，这意味着半年复合利率为 6%。我们现在可以将季度复合利率表示为市场利率的函数。

给定年市场利率 (r)，季度复合利率 (r _q ) 由下式给出：

的 rq =4[(2r +1)21 −1]

因此，对于我们的示例，年市场利率为 12%，季度复合利率为 11.825%：

的 rq =4[(212% +1)21 −1]≅11.825%

类似的逻辑适用于每月复利。月复合利率 (r _m ) 在这里作为年市场利率 (r) 的函数给出：

的 rm =12[(2r +1)61 −1]=12[(212% +1)61 −1]≅11.71%

作为市场利率 (r) 函数的每日复合利率 (d) 由下式给出：

的 rd =360[(2r +1)1801 −1]=360[(212% +1)1801 −1]≅11.66%

连续复利是如何运作的

如果我们将复合频率增加到极限，我们就会连续复合。虽然这可能不切实际，但连续复利提供了非常方便的特性。事实证明，连续复利利率由下式给出：

的 r连续 =ln(1+r)

Ln() 是自然对数，因此在我们的示例中，连续复合利率为：

的 r连续 =ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%

我们通过取该比率的自然对数得出相同的结果：结束值除以起始值。

的 rcontinuous =ln(ValueStart ValueEnd )=ln(100112 )≅11.33%

后者在计算股票的连续复合回报时很常见。例如，如果股票从一天的 10 美元跃升至第二天的 11 美元，则连续复利日收益为：

的 rcontinuous =ln(ValueStart ValueEnd )=ln($10$11 )≅9.53%

我们将用_rc表示的连续复合利率（或回报率）有什么了不起？首先，它很容易向前扩展。给定 (P) 本金，我们 (n) 年的最终财富为：

的 w=Perc n

请注意，e 是指数函数。例如，如果我们从 100 美元开始，并在三年内以 8% 的速度连续复合，则最终财富为：

的 w=$100e(0.08)(3)=$127.12

贴现到现值(PV) 只是反向复利，所以未来价值(F) 的现值以 (r _c ) 的比率连续复利，由下式给出：

的在（n）年收到的F的PV=erc nF =Fe−rc n

例如，如果您将在三年内以 6% 的连续利率收到 100 美元，则其现值由下式给出：

的 PV=Fe−rc n=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53

在多个时期缩放

连续复合回报的便利属性是它可以在多个时期内扩展。如果第一期的回报率为 4%，第二期的回报率为 3%，则两期的回报率为 7%。假设我们以 100 美元开始这一年，在第一年年底增长到 120 美元，然后在第二年年底增长到 150 美元。连续复合回报率分别为18.23%和22.31%。

的 ln(100120 )≅18.23%

的 ln(120150 )≅22.31%

如果我们简单地将这些加在一起，我们得到 40.55%。这是两期收益：

的 ln(100150 )≅40.55%

从技术上讲，连续返回是时间一致的。时间一致性是对风险价值 (VAR) 的技术要求。这意味着如果单期收益是正态分布的随机变量，我们希望多期随机变量也服从正态分布。此外，多期连续复合回报呈正态分布（与简单的百分比回报不同）。

连续复利常见问题解答

不断复利是什么意思？

连续复利意味着利息可以复利的频率没有限制。连续复利可以发生无限次，这意味着余额始终在赚取利息。

持续复合是否意味着每天？

连续复利意味着利息每时每刻都在复利，即使是在最小的可量化时间段内。因此，复合连续发生的频率高于每日。

为什么使用连续复利？

连续复利用于显示当利息不断增加时余额可以赚取多少。对于投资者来说，他们可以计算出他们期望从一项赚取连续复利的投资中获得多少收益。

离散复利和连续复利有什么区别？

离散复利在特定时间应用利息，例如每天、每月、每季度或每年。离散复利明确定义了应用利息的时间。连续复利在每时每刻不断地应用利息。

每年复利和连续复利有什么区别？

每年复利意味着每年对本金和以前累积的利息应用利息；而连续复利意味着每时每刻都将利息应用于本金和累积利息。没有一小部分时间不通过连续复利计算利息。

归纳总结

我们可以将年利率重新表述为半年利率、季度利率、月利率或日利率（或回报率）。最常见的复利是连续复利，这需要我们使用自然对数和指数函数，由于其理想的特性，它们在金融中很常用。复利在多个时期内很容易连续回报规模，并且是时间一致的。

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