金融資產的價值每天都在變化。投資者需要一個指標來量化這些通常難以預測的變化。供給和需求是影響資產價格變化的兩個主要因素。作爲回報，價格變動反映了波動幅度，這是成比例利潤和損失的原因。從投資者的角度來看，這種影響和波動的不確定性稱爲風險。
期權的價格取決於其潛在的移動能力，或者換句話說，其波動能力。變動的可能性越大，臨近到期的溢價就越貴。因此，計算標的資產的波動性有助於投資者爲基於該資產的衍生品定價。
要點
- 期權合約和其他衍生品的定價直接涉及計算資產的波動性或價格波動的速度。
- 波動性源自年化價格變動的方差。
- 此計算可能複雜且耗時，但使用 Excel 計算資產的歷史波動性可以快速準確地完成。
衡量資產的變化
衡量資產變化的一種方法是量化資產的每日回報（每日變動百分比）。這給我們帶來了歷史波動性的定義和概念。歷史波動率基於歷史價格，代表資產回報的波動程度。該數字沒有單位，以百分比表示。
計算歷史波動率
如果我們稱P(t)爲金融資產（外匯資產、股票、外匯對等）在t時刻的價格，P(t-1)爲該金融資產在t-1時刻的價格，我們定義資產在時間 t 的每日收益 r (t)：
r(t)=ln(P(t)/P(t-1))
其中 Ln (x) = 自然對數函數。
時間 t 的總回報R 爲：
R = r1 + r2 + r3 + 2 + ... +rt-1+ rt，
這相當於：
R = Ln (P1 / P0) + ... Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)
我們有以下等式：
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a*b)
所以，這給出：
R = Ln [(P1 / P0* (P2 / P1)* ... (Pt / Pt-1]
R = Ln [(P1.P2 ... Pt-1.Pt) / (P0.P1.P2 ... Pt-2.Pt-1)]
並且，經過簡化後，我們有：
R = Ln (Pt / P0)。
收益率通常計算爲相對價格變化的差異。這意味着，如果資產在時間 t 的價格爲 P(t)，在時間 t + h> t 的價格爲 P(t + h)，則回報 (r) 爲：
r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] – 1
當回報率很小（例如只有幾個百分點）時，我們有：
r ≈ Ln (1 + r)
我們可以用當前價格的對數替換 r，因爲：
r ≈ Ln (1 + r)
r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))
r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))
例如，從一系列收盤價中，只需取兩個連續價格之比的對數即可計算每日收益 r (t)。
因此，我們還可以僅使用初始價格和最終價格來計算總回報 R。
年化波動率
爲了充分了解一年內不同的波動性，我們將該波動性乘以一個解釋一年內資產波動性的因子。
爲此，我們使用方差。方差是一天平均日收益偏差的平方。
爲了計算 365 天的平均每日回報偏差的平方數，我們將方差乘以天數 (365)。年化標準差通過結果的平方根得出：
方差 = σ²每日 = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]
對於年化方差，如果我們假設一年有 365 天，並且每天都有相同的日方差 σ²daily，我們得到：
年化方差 = 365。 σ²每日
年化方差 = 365。[Σ (r (t)) ² / (n - 1)]
最後，波動率定義爲方差的平方根：
波動率 = √（年化方差）
波動性 = √ (365. Σ²每日)
波動率 = √ (365 [Σ (r (t)) ² / (n - 1)].)
模擬
數據
我們從 Excel 函數 =RANDBETWEEN 模擬每天在 94 和 104 之間變化的股票價格。
計算每日回報
- 在 E 列中，我們輸入“Ln (P (t) / P (t-1))”。
計算每日收益的平方
- 在 G 列中，我們輸入“(Ln (P (t) / P (t-1)) ^2”。
計算每日方差
爲了計算方差，我們將獲得的平方和除以（天數 -1）。所以：
- 在單元格 F25 中，我們有“= sum (F6: F19)”。
- 在單元格 F26 中，我們計算“= F25 / 18”，因爲我們有 19 -1 個數據點用於此計算。
計算每日標準差
爲了計算每日標準差，我們計算每日方差的平方根。所以：
- 在單元格 F28 中，我們計算“= Square.Root(F26)”。
- 在單元格 G29 中，單元格 F28 顯示爲百分比。
計算年化方差
爲了根據每日方差計算年化方差，我們假設每天都有相同的方差，並將每日方差乘以 365（包括週末）。所以：
- 在單元格 F30 中，我們有“= F26* 365”。
計算年化標準差
要計算年化標準差，我們只需計算年化方差的平方根。所以：
- 在單元格 F32 中，我們有“= ROOT (F30)”。
- 在單元格 G33 中，單元格 F32 顯示爲百分比。
年化方差的平方根爲我們提供了歷史波動率。