複利是根據初始本金和以前存款或貸款期間的累計利息計算的利息。複利的影響取決於頻率。

假設年利率爲 12%。如果我們以 100 美元開始這一年，並且只複利一次，到年底，本金將增長到 112 美元（100 美元 x 1.12 = 112 美元）。僅適用於本金的利息稱爲單利。如果我們改爲每月以 1% 的複合利率計算，那麼到年底我們的收入將超過 112 美元。也就是說，100 美元 x 1.01^12 等於 112.68 美元。 （它更高，因爲我們更頻繁地複利。）

連續複利回報是所有回報中最頻繁的。連續複利是複利所能達到的數學極限。這是複利的極端情況，因爲大多數利息按月、季度或半年複利。

半年回報率

首先，讓我們看一下一個可能令人困惑的約定。在債券市場中，我們指的是債券等價收益率（或債券等價基差）。這意味着，如果債券的半年收益率爲 6%，則其債券等價收益率爲 12%。

半年收益率簡直翻倍。這可能會造成混淆，因爲 12% 債券等值收益率債券的有效收益率爲12.36%（即 1.06^2 = 1.1236）。將半年收益率翻一番只是一種債券命名慣例。因此，如果我們讀到 8% 的半年複利債券，我們假設這是指 4% 的半年收益率。

季度、月度和日回報率

現在，讓我們討論更高的頻率。我們仍然假設年市場利率爲 12%。根據債券命名慣例，這意味着半年複合利率爲 6%。我們現在可以將季度複合利率表示爲市場利率的函數。

給定年市場利率 (r)，季度複合利率 (r _q ) 由下式給出：

的 rq =4[(2r +1)21 −1]

因此，對於我們的示例，年市場利率爲 12%，季度複合利率爲 11.825%：

的 rq =4[(212% +1)21 −1]≅11.825%

類似的邏輯適用於每月複利。月複合利率 (r _m ) 在這裏作爲年市場利率 (r) 的函數給出：

的 rm =12[(2r +1)61 −1]=12[(212% +1)61 −1]≅11.71%

作爲市場利率 (r) 函數的每日複合利率 (d) 由下式給出：

的 rd =360[(2r +1)1801 −1]=360[(212% +1)1801 −1]≅11.66%

連續複利是如何運作的

如果我們將複合頻率增加到極限，我們就會連續複合。雖然這可能不切實際，但連續複利提供了非常方便的特性。事實證明，連續複利利率由下式給出：

的 r連續 =ln(1+r)

Ln() 是自然對數，因此在我們的示例中，連續複合利率爲：

的 r連續 =ln(1+0.12)=ln(1.12)≅11.33%

我們通過取該比率的自然對數得出相同的結果：結束值除以起始值。

的 rcontinuous =ln(ValueStart ValueEnd )=ln(100112 )≅11.33%

後者在計算股票的連續複合回報時很常見。例如，如果股票從一天的 10 美元躍升至第二天的 11 美元，則連續複利日收益爲：

的 rcontinuous =ln(ValueStart ValueEnd )=ln($10$11 )≅9.53%

我們將用_rc表示的連續複合利率（或回報率）有什麼了不起？首先，它很容易向前擴展。給定 (P) 本金，我們 (n) 年的最終財富爲：

的 w=Perc n

請注意，e 是指數函數。例如，如果我們從 100 美元開始，並在三年內以 8% 的速度連續複合，則最終財富爲：

的 w=$100e(0.08)(3)=$127.12

貼現到現值(PV) 只是反向複利，所以未來價值(F) 的現值以 (r _c ) 的比率連續複利，由下式給出：

的在（n）年收到的F的PV=erc nF =Fe−rc n

例如，如果您將在三年內以 6% 的連續利率收到 100 美元，則其現值由下式給出：

的 PV=Fe−rc n=($100)e−(0.06)(3)=$100e−0.18≅$83.53

在多個時期縮放

連續複合回報的便利屬性是它可以在多個時期內擴展。如果第一期的回報率爲 4%，第二期的回報率爲 3%，則兩期的回報率爲 7%。假設我們以 100 美元開始這一年，在第一年年底增長到 120 美元，然後在第二年年底增長到 150 美元。連續複合回報率分別爲18.23%和22.31%。

的 ln(100120 )≅18.23%

的 ln(120150 )≅22.31%

如果我們簡單地將這些加在一起，我們得到 40.55%。這是兩期收益：

的 ln(100150 )≅40.55%

從技術上講，連續返回是時間一致的。時間一致性是對風險價值 (VAR) 的技術要求。這意味着如果單期收益是正態分佈的隨機變量，我們希望多期隨機變量也服從正態分佈。此外，多期連續複合回報呈正態分佈（與簡單的百分比回報不同）。

連續複利常見問題解答

不斷複利是什麼意思？

連續複利意味着利息可以複利的頻率沒有限制。連續複利可以發生無限次，這意味着餘額始終在賺取利息。

持續複合是否意味着每天？

連續複利意味着利息每時每刻都在複利，即使是在最小的可量化時間段內。因此，複合連續發生的頻率高於每日。

爲什麼使用連續複利？

連續複利用於顯示當利息不斷增加時餘額可以賺取多少。對於投資者來說，他們可以計算出他們期望從一項賺取連續複利的投資中獲得多少收益。

離散複利和連續複利有什麼區別？

離散複利在特定時間應用利息，例如每天、每月、每季度或每年。離散複利明確定義了應用利息的時間。連續複利在每時每刻不斷地應用利息。

每年複利和連續複利有什麼區別？

每年複利意味着每年對本金和以前累積的利息應用利息；而連續複利意味着每時每刻都將利息應用於本金和累積利息。沒有一小部分時間不通過連續複利計算利息。

綜述

我們可以將年利率重新表述爲半年利率、季度利率、月利率或日利率（或回報率）。最常見的複利是連續複利，這需要我們使用自然對數和指數函數，由於其理想的特性，它們在金融中很常用。複利在多個時期內很容易連續回報規模，並且是時間一致的。

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